●ナンバーズスリーのボックスの出目
3桁の数字の組合せで当たり外れを決めるのがナンバーズスリー。
「ストレート」は「3ケタの各数字と並びの順序が一致するタイプ」なので出目のパターンは1000通り。
「ボックス」は「3(または4)ケタの各数字が一致すれば、並びの順序は問わないタイプ」。
したがって、123、132、213、231、312、321は同一である。
この出目のパターンは何通りあるか。
3桁が同じ数字のパターンは
000から999まで
10通り。
2桁が同じ数字、1桁が違う数字のパターンは
a>bのとき、aabとabbのいずれか(aab、aba、baaは同一、abb、bab、bbaは同一)。
aabの場合、10個からaとbの2個を選ぶパターンなので、(10*9)/(2*1)=45通り。
abbの場合、10個からaとbの2個を選ぶパターンなので、(10*9)/(2*1)=45通り。
3桁とも違う数字のパターンは
10個から3個を選ぶパターンなので、(10*9*8)/(3*2*1)=120通り。
全部で
10+45+45+120=220通り。
全部数える方法は次の通り。
0を含むパターン。010は001と同一なのでカウントしない。
000 001 002 003 004 005 006 007 008 009
011 012 013 014 015 016 017 018 019
|
088 089
099
10+9+...+2+1=55通り。
1を含むパターンで0を含むパターンに出てこないもの。
111 112 113 114 115 116 117 118 119
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199
9+8+...+2+1=45通り。
2を含むパターンで0、1を含むパターンに出てこないもの。
222 223 224 225 226 227 228 229
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299
8+7+...+2+1=36通り。
ずっととばして8を含むパターンでまだ出てこないもの。
888 889
899
2+1=3通り。
9を含むパターンでまだ出てこないもの。
999
1=1通り。
全部で
55+45+36+...+6+3+1=220通り。
一般化する。
a(1)=1
a(2)=3
|
a(10)=55
a(n)=1+2+3+...+n(=1/2*n*(n+1))
としたとき
s(n)=a(1)+a(2)+...+a(n)
これを計算すると
s(n)=1/6*n*(n+1)*(n+2)
となる。
s(10)=1/6*10*11*12=220通り
となり先ほどの計算と一致する。
もし10個の数字のうち(例えば3と4の)2個を除いたパターンを数えると
s(8)=1/6*8*9*10=120通り
となる。
